Экзаменационные вопросы 
по курсу "Алгебра и аналитическая геометрия".
(I КУРС, II СЕМЕСТР)

1.  Линейное пространство. Определение, основные свойства и примеры. Ранг и база системы векторов.
2.  Линейная оболочка.
3.  Изоформизм линейных пространств.
4.  Сумма и пересечение линейных подпространств.
5.  Прямая сумма линейных подпространств.
6.  Линейные многообразия в линейном пространстве.
7.  Фактор пространство.
8.  Евклидово (и унитарное) пространство. Неравенство Коши-Буняковского.
9.  Длина и угол. Неравенства треугольника в евклидовом (и унитарном) пространстве.
10. Ортонормированный базис. Скалярное произведение в ортонормированном базисе.
11. Существование ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации.
12. Матрица Грама. Критерий линейной зависимости.
13. Ортогональное дополнение. Разложение вектора на ортогональную проекцию и перпендикуляр.
14. Линейные многообразия в евклидовом (и унитарном) пространстве.
15. Расстояния в евклидовом (и унитарном) пространстве.
16. Изоформизм евклидовых (и унитарных) пространств.
17. Линейные операторы. Определение и основные свойства. Матрица линейного оператора.
18. Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и матрицами.
19. Матрицы линейного оператора в различных базисах. Эквивалентные матрицы. Критерий эквивалентности.
20. Линейное пространство линейных операторов и его связь с пространством матриц.
21. Линейные формы. Сопряженное пространство. Специальное представление линейной формы в евклидовом (и унитарном) пространстве.
22. Произведение линейных операторов и его матрица.
23. Образ и ядро линейного оператора.
24. Обратный оператор. Критерий обратимости.
25. Инвариантные подпространства. Индуцированный оператор.
26. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Основные свойства.
27. Характеристический многочлен линейного оператора.
28. Условие существования собственных векторов линейного оператора. Собственные векторы линейного оператора в комплексном пространстве.
29. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения.
30. Операторы простой структуры.
31. Треугольная форма матрицы линейного оператора в комплексном пространстве.
32. Теорема о прямой сумме нильпотентного и обратимого операторов.
33. Расщепление линейного оператора.
34. Корневые подпространства. Канонический базис корневого подпрост-ранства.
35. Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора в комплекс-ном пространстве.
36. Теорема Гамильтона-Кэли.
37. Подобные матрицы. Критерий подобия.
З8. Инвариантные подпространства минимальной размерности.
39. Сопряженный оператор. Существование и единственность сопряженного оператора.
40. Матрицы взаимно сопряженных операторов в биортогональных базисах.
41. Нормальный оператор.
42. Унитарный (ортогональный) оператор.
43. Каноническая форма ортогонального оператора.
44. Самосопряженный оператор.
45. Знакоопределённые операторы. Корень из оператора.
46. Каноническая форма матрицы ортогонального оператора.
47. Разложения линейного оператора.
48. Билинейные формы в линейном пространстве.
49. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа. Формулы Якоби.
50. Закон инерции квадратичных форм. Сигнатурное правило Якоби.
51. Знакоопределённые квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
52. Полуторалинейные и эрмитовы формы.
53. Квадратичные формы в евклидовом (и унитарном) пространстве. Приве-дение к главным осям.
54. Одновременное приведение к главным осям пары квадратичных форм.
55. Приведенные уравнения гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве.
56. Классификация алгебраических поверхностей второго порядка в пространстве.
57. Норма вектора. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве
58. Норма линейного оператора.
59. Матричные нормы линейного оператора.
60. Экстремальные свойства собственных значений самосопряженного оператора.
61. Операторные уравнения. Условия разрешимости.
62. Нормальное решение. Псевдорешение.
63. Теорема Тихонова.
64. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
65. Тензоры. Определение и примеры.
66. Алгебраические операции над тензорами.